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△x=cos(x),x没有解析解
这个难倒数学家的问题,叫做「山羊问题」 (goatproblem,最初的问题描述是这样的:
将一只山羊拴在面积为1英亩的圆形草地的围栏上,请问栓多长的绳子,才能让山羊刚好吃到半英亩的草?
问题提出后,已有数学家给出了2种求解方程。
但,仅仅是“方程”:
这个问题的精确答案,即如何准确地用围栏半径来表示绳子长度,却一直悬而未解。
美国海军学院数学家MarkMeyerson曾表示,对于这一问题,此前“没人知道确切答案,解决方法只是大致给出的。”
直到今年,才有一位叫做IngoUllisch的德国数学家,给出了这个问题的解析解。
从迭代到积分,求出来的还是方程
如果用数学的语言来描述这个问题,它是这样的:
一个半径为R的圆A,与另一个半径为r的圆B相交,其中圆B的圆心在圆A上,且两个圆的相交面积为圆A面积的一半,求解r。
如果只是列出有关r的方程,目前已经有两种方案。
第一种方案,代入求解透镜面积的方程。
透镜由两个(半径相同或不同的圆相交构成,求解它的面积A,目前已有这么一个公式(其中,两圆半径为R和r,圆心之间的距离为d:
显然,「山羊问题」也能用透镜面积方程来求解。